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辅助线在小学生空间观念培育中的运用研究
论文作者:童鞋论文网  论文来源:www.txlunwenw.com  发布时间:2019/8/2 9:54:02  

摘要:建构主义认为,学习不是由教师向学生传递知识的过程,而是学生依据自己的经验建构知识的过程,所以学习者的主动建构不可能由他人代替。笔者立足课堂实践,通过培养学生对辅助线的感受力、使用力,帮助学生找准使用辅助线的方向,发现各知识系统间的联系,从而促进其空间观念的形成。

关键词:小学生;数学教学;空间观念;辅助线;

研究表明,儿童时代是空间观念形成与发展的重要阶段,小学生通过几何知识的学习,可以有效促进空间想象力的形成和空间观念的发展。辅助线是在原图基础上所作的具有极大价值的直线或者线段,用于解答几何图形问题。通过合理借助辅助线,学生不仅能解答数学难题,而且还能从复杂图形中抽象理解关键知识、基本规律等,培养空间观念。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,教师在教学时应使学生通过观察、操作、推理等手段,逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换。但在教学实际中,有些教师未能科学合理地分析辅助线的使用规律,致使学生只知道辅助线这一术语,在应用时仍然束手无策。可见,教师科学合理地引导学生使用辅助线,是培养学生空间观念的关键点。

建构主义认为,学习不是由教师向学生传递知识的过程,而是学生依据自己的经验建构知识的过程,所以学习者的主动建构不可能由他人代替。笔者立足课堂实践,通过培养学生对辅助线的感受力、使用力,帮助学生找准使用辅助线的方向,发现各知识系统间的联系,从而促进其空间观念的形成。

一、感受图形特点,找准辅助线使用方向

辅助线具有揭示图形间逻辑关系,将未知问题转化为已知条件等作用。但在教学中,需要应用到辅助线来解决问题的图形往往复杂、不规则,甚至烦琐。因此,要在图形上准确画出合适的辅助线事实上并不容易。此外,多数学生常常“见题即做”,没有审题的习惯。因此,教师还要有培养学生审题习惯的意识,要求学生认真观察所面对的图形。通过找出图形特点,思考图形中需要画辅助线的地方,再找准辅助线的使用方向。

在教学中,教师根据画辅助线的方向性原则,如将组合图形拆分为单一图形,发挥图形中特殊点或线的作用,将图形转化成其他基本图形来解决问题等,帮助学生找准使用辅助线的方向。这无疑有利于学生发现图形的本质特点,进而找到解决图形问题的有效线索,为完成任务奠定基础。

二、学用辅助线,发现知识间的联系

学生学会正确使用辅助线是一个渐进的过程。为了充分发挥辅助线能揭示图形中隐含题设条件的作用,学生必须掌握使用辅助线简化问题、形成思路、转化未知等方面的能力。

(一)以辅助线沟通问题和条件,化繁为简

如果题目没有给出解决问题的直接条件,学生在解答时常会手足无措。这时学生应该思考解决问题所需条件和题目中已知条件之间的关系,通过使用辅助线将已知条件和要解决问题间的关系凸显出来,从而为解决问题做好铺垫。

例如,求D所在图形占长方形大小的占比(见图1)。该题是三年级“分数的基本认识”一课的练习,学生刚掌握把一个物体平均分成几份,每一份就是几分之一等内容。然而部分学生因为图形没有直观展示平均分的份数而无法确定D所占份率,或者受其他线条干扰条件的影响而给出1/4的答案。这时,笔者鼓励一位学生上台用个性化的方式来展示自己猜想的过程。学生使用了折纸的方式折出了D,并根据印痕确认将长方形平均分成了8份,D可以用1/8表示。随后,教师用画辅助线的方式将平均分的过程抽象出来(如图2)。

图1求解D所在图形占长方形大小分数比

图2用辅助线表现平均分的过程

在本题中,教师通过画辅助线来演示折叠长方形后的印痕,学生通过想象还原“平均分”这一过程,从而得出正确结论。这种做法让学生学习了如何用辅助线沟通问题和条件之间的联系,并引导学生在解决数学难题时,提升辅助线的思考力和使用率。

(二)以拆分为方法,化难为易

拆分是指将组合成一个整体的不同部分单独分开,在组合图形的面积计算中应用广泛。在计算组合图形的面积时,按照“取大优先”的原则(避免将组合图形分割得太碎),一般使用辅助线将复杂的组合图形拆分成学生已学过的单一图形,如平行四边形、三角形、梯形等,再分别计算它们的面积,最后合计总图形的面积。

例如:在五年级“多边形面积的计算”单元中,需求解多边形的面积(如图3)。

图3求解该多边形的面积

有的学生第一次面对组合图形的时候,因为找不到解题思路而浪费思考的时间,造成学习效率低下。这时教师组织学生讨论:“可以用画辅助线的方法把这个图形拆分成我们学过的基本图形,你能想到几种解决办法?”有的学生说:“可以直接分成一个三角形和一个正方形。”有的说:“我可以分成两个完全相同的梯形。”还有的说:“我可以把它补上两个三角形,看起来原来图案就是一个长方形去掉两个同样的三角形。”

教师评价道:“大家方法不一样,让我们看看能不能计算出原来图形的面积吧。”学生根据自己的拆分方式都计算出了图形面积。最后教师点评:“虽然用辅助线有多种拆分方法,但不是每一种都可以又快又好地解决问题,要根据图形特点和数据条件,选择最合适的方法。从计算过程可知,此题中最合适的方案是分成一个三角形和一个正方形。”

一个多边形可能存在多种拆分方法。在学生找出多种使用辅助线解题的可能性后,教师要鼓励学生交流与尝试不同的解题方法,让学生了解到不同解题方法的适用情况及其注意事项,培养发散的思维。

(三)以转化为目的,化未知为已知

转化是数学教学中最常用最基本的思维方法之一,即对求解比较困难的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,运用恰当的数学方法进行转化变换,将原问题转化为较容易解决的问题,从而对转化出来的问题进一步求解,达到解决问题的目的。辅助线便能起到转化作用,实现问题从“未知”到“已知”。

例如:在五年级“数学多边形的面积”这一单元中,学生在已掌握长方形面积计算方法的基础上,依次学习平行四边形、三角形和梯形面积的计算方法。在学习平行四边形的面积计算过程中,教师带领学生观察平行四边形的特点,引导学生:“我们已经掌握了四边形中长方形的面积计算方法,平行四边形同样是四边形,能不能想个办法,把平行四边形转化成长方形来计算面积呢?”学生通过用实物剪接,证明可以把平行四边形转化成长方形。教师再次引导:“怎样在图上把你转化的过程表达出来呢?”学生不约而同选择了用画辅助线的方法表达转化的过程(如图4)。

图4利用辅助线实现平行四边形到长方形的转化

通过画辅助线,可以将平行四边形转化为长方形,从而推导出平行四边形的面积计算公式。与此类似的还有三角形、梯形的面积推导过程,教师引导学生通过比一比、画一画的方法,找出转化前后两个图形之间的共同点和不同点,借助辅助线切分、旋转或平移转化为目标图形,达成学习目标,培养空间观念。

(四)以点拨提高课堂学习效率,画龙点睛

教师在解决问题关键处的点拨往往能对学生的学习起到画龙点睛的作用。对于有一定难度的问题,学生往往无法准确使用辅助线揭示图形中隐含的知识,特别是在学生学习能力有差异、课堂教学时间有限制的情况下。作为课堂的主导者,教师的点拨就十分具有必要性,不仅能为学生提出一个解决问题的方向,还能提高课堂学习效率。

例如:求两个图案中阴影部分的面积(见表1)。第一题虽然只知道圆的半径是1m,但学生已经掌握了“圆的直径=外切正方形的边长”。因此,教师可以这样引导学生:“你能在图上画一条辅助线,让人一眼看出正方形的边长等于圆的直径吗?”并让学生尝试完成,在汇报后算式:22-3.14×12=0.86m2,无需过多地引导。

第二题圆内接正方形,该题计算正方形的面积不能用一般的“边长×边长”计算方法,需要把正方形的面积转化为2个(或4个)三角形的面积之和来计算,这是本题解题关键。因此,教师把侧重点放在第二个图形面积的计算方法上,点拨学生尝试转换思路:“题目已知条件是圆的半径和求出的直径,它们在正方形中充当了什么角色?能不能帮我们求出正方形的面积?”这一点拨,将求正方形面积的问题转化成求三角形面积的问题,随之找出三角形的底和高与圆的直径或半径的关系,通过辅助线将问题化繁为简,开拓了学生解题思路。

表1两个图案中阴影部分的求解过程

教师精妙的点拨能够简要指出辅助线的使用方向,但点拨的次数不能过多,否则就变成了“包办”,制约了学生空间想象力的培养。此外,教师的点拨还要放在解题的关键处,帮助学生更好地理解题意、解决难题。

三、善用辅助线解题,形成良好的空间观念

学生掌握使用辅助线的基本方法后,根据实际需要尝试使用辅助线解答几何图形,不但提高了学生运用辅助线的技能,而且能帮助学生形成良好的空间观念。科学合理的空间观念一旦形成,又反过来促进学生解答几何图形的能力。

例如:五年级数学“学习长方体”一课,教师引导学生从图中找出长方体所有的面、棱和顶点,鼓励学生使用辅助线把长方体透视图画在纸上,并借助辅助线的帮助在一个平面(纸)上展出长方体的6个面、12条棱和8个顶点这一性质。通过与实物对比,结合想象,学生能抽象出纸上所画长方体各个部分与立体图形的对应关系,形成三维空间观念。

通过辅助线,学生能将图形的实际研究和操作简化成笔头的线条,将复杂物体的各个部分展示在同一平面上。教师应加强对学生辅助线使用能力的培养,增强学生的空间想象力,丰富他们的实践经验,从而帮助学生形成从二维到三维的空间观念。

教学是知识的再创造、再理解和再加工的过程。学生掌握辅助线的使用方法,不仅可以从实物抽象出几何图形,而且还能根据几何图形想象出所描述的物体,为发展学生的空间观念提供有效帮助。在小学数学教学中,教师要善于引导学生丰富或调整自己对辅助线的理解,提高技能操作的能力。

参考文献

[1]教育部.教育部颁布《义务教育数学课程标准(2011年版)》[EB/OL].http://old.pep.com.cn/xxsx/jszx/xskcbj/201202/t20120221_1102877.htm.

[2]何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础[J].学科教育,1998(5).

[3]唐建.浅谈培养小学生数学观念的方法[J].读写算(教育教学研究),2011(24).

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